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I numeri triangolari

Vi ricordate che nell’articolo sui numeri secondo Pitagora avevamo visto che il grande matematico era riuscito a dare una forma geometrica ai numeri inventando la aritmogeometria.

Ma vediamo nel dettaglio di cosa si tratta cominciando a conoscere un po meglio i numeri triangolari.

In matematica un numero è triangolare quando lo si può rappresentare in modo da formare un triangolo, come si vede nella figura.

Qui sono rappresentati i primi sei numeri triangolari, ma come si fa a ricavare gli altri?

In realtà è molto semplice perché ogni numero triangolare è dato dalla somma di tutti i numeri naturali che lo precedono:

per conoscere, ad esempio, il dodicesimo numero triangolare basterà sommare tra loro tutti i numeri naturali da 1 a 12:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78

Come potete notare questo metodo è molto efficace fin quando si tratta di numeri abbastanza piccoli, certo dovessimo calcolare il 264° numero triangolare le cose sarebbero un po’ più complicate. Fortunatamente il genio di Friedrich Gauss ci viene in soccorso.

Egliaveva trovato la seguente formula che permette di calcolare in modo estremamente semplice qualsiasi numero triangolare:

Ad esempio volendo calcolare il 54° numero triangolare basterà sostituire 54 ad n nella formula e il gioco è fatto:

I numeri triangolari hanno moltissime proprietà interessanti, vediamone alcune insieme:

  • Se scriviamo i numeri triangolari in successione possiamo notare che sono sempre due pari e due dispari:
    • 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 43, 55, 66, 78…….
  • Sommando due numeri triangolari successivi si ottiene sempre un numero quadrato
    • 1 + 3 = 4
    • 21 + 28 = 49
  • I numeri triangolari sono sempre dei numeri perfetti, cioè uguali alla somma dei loro divisori
    • 28 ad esempio ha come divisori 1, 2, 4, 7 e 14 che sommati danno appunto 28

Osservando la tavola pitagorica, invece possiamo notare che i numeri rettangolari (quelli nelle caselle fucsia) hanno una posizione simmetrica rispetto alla diagonale dei numeri quadrati.

I numeri triangolari, oltre ad avere un certo fascino da un punto di vista strettamente matematico, hanno anche delle applicazioni pratiche, servono ad esempio a calcolare il numero minimo di mosse per risolvere giochi come la torre di Hanoi, oppure a calcolare il numero di strette di mano tra un gruppo di persone (classico problema del calcolo combinatorio).

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